Matematica

Unidad Educativa Municipal “Sebastián de Benalcázar”

 

                       Nombre: Mateo Torres

Curso: 1ro C

 

Tema:

 

Fenómenos naturales y procesos historicos

 

 Asignatura: matemática 

 

Docente: Michael Ponce 

 

 

Quito, octubre de 2021

Aplicación de la Bisectriz y mediatriz en la construcción de octógonos

Para poder explicar este tema bien debemos saber que significa mediatriz y bisectriz  y para qué se usa. 

¿Qué es mediatriz?

La  mediatriz es un segmento es la línea recta perpendicular a dicho segmento trazada por su punto medio. Que equivale o se puede definir como el lugar geométrico  la recta  cuyos puntos son equidistantes a los extremos del segmento.

¿Para qué se utiliza?

En el área de la geometría existen diferentes e importantes aplicaciones y una de ellas es la mediatriz, la cual es utilizada para poder hacer una determinación del circuncentro de los polígonos cíclicos, esto porque por definición, la recta que pasa por el punto medio de un segmento que está ubicado dentro de la circunferencia inscrita en el polígono necesariamente pasará por su centro. Cuando nos referimos a una circunferencia, cualquier mediatriz de una cuerda que pertenezca a esta pasará por su centro. La mediatriz es uno de los objetos geométricos más importantes en otras construcciones más complejas.

Propiedades

Al igual que muchos temas dentro del área de la geometría, la mediatriz tiene propiedades que mencionamos a continuación:

• Un punto cualquiera de la mediatriz se encuentra a la misma distancia en la que se encuentran los dos extremos del segmento.
• Si dos circunferencias son tangentes, el punto de tangencia está en la recta.
• Si una recta es tangente a una circunferencia, el punto de tangencia se encuentra ubicado en la perpendicular a r trazada por O.
• Si una circunferencia pasa por dos puntos, su centro se localiza en la mediatriz del segmento que une estos puntos.
• Si una circunferencia es tangente a dos rectas su centro está en la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas.

Como se traza la mediatriz

Para lograr trazar la mediatriz, debemos de seguir una serie de pasos importantes que son los siguientes:

• Es valioso saber que para poder trazar la mediatriz vamos a necesitar el uso de un compás.
• El compás debe de abrirse algo más de la mitad del segmento dado AB y, debe tener su centro en el extremo A donde se traza un arco.
• Manteniendo la abertura del compás y sin producir ningún tipo de modificación y con el centro en B, se debe de trazar otro arco que cortará al anterior en los puntos C y D.
• Para finalizar, se deben unir los puntos C y D para obtener la recta mediatriz.

¿Qué es bisectriz?

La bisectriz es un término utilizado en el ámbito de la geometría para referirse al segmento de la recta que tiene la función de pasar por un ángulo y dividirlo en dos partes iguales, formando dos regiones conocidas como ángulos. Los puntos de la bisectriz son paralelos, su origen se encuentra en el vértice y representa un lugar geométrico el cual puede ser trazado y presentarse de manera gráfica. La bisectriz es el eje de simetría del ángulo y sus puntos son equidistantes a los dos lados del ángulo.

¿Para qué se usa?

La noción de bisectriz se utiliza en el campo de la geometría para nombrar a aquello que fracciona o corta algo en dos fragmentos iguales. Por lo general el concepto alude a la recta que realiza la división de un ángulo en dos segmentos idénticos.

Un ángulo es la semirrecta con origen en el vértice del ángulo y que lo divide en dos ángulos de igual medida. ​ Es una recta si se considera como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan, es decir, están a la misma distancia de los lados del ángulo bisecado.

Propiedades

Al igual que muchas figuras geométricas, la bisectriz también posee propiedades que la diferencias de otros, entre ellas podemos mencionar que:

• Los puntos de la bisectriz se consideran como equidistantes a los dos lados que tiene el ángulo.
• Dos rectas, cuando se intersecan, determinan cuatro ángulos de forma consecutiva y sus bisectrices, que pasan por el punto de intersección, forman cuatro ángulos rectos que son todos consecutivos.
• La bisectriz de un ángulo, con cada uno de los lados tiene la posibilidad de formar dos ángulos con lado común e iguales, cada uno de ellos es la mitad del original.

Ahora si ya que sabemos las definiciones ahora veremos como se usan en octágonos

Octógono

¿Qué es un octágono?

Un octógono es una superficie cerrada y plana, formada por la intersección de 8 líneas (llamados lados del octógono), que se cortan en 8 vértices (ángulos del octógono).

Un octógono regular es aquel formado por lados de la misma longitud y ángulos del mismo valor.

A continuación vamos a ver cómo se construye un OCTÓGONO REGULAR cuando conocemos el lado. Para ello utilizaremos la circunferencia donde se inscribe el octógono.

1. El segmento AB, lado del octógono que nos lo dan como dato, lo colocamos sobre una recta r sobre la que vamos a trabajar.

Trazamos la mediatriz del segmento AB, usando la propia medida del segmento.

OCTÁGONO APLICANDO LA MEDIATRIZ

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2. Utilizando la escuadra y el cartabón, trazamos una perpendicular a la recta r, en el punto B. Corta al arco anterior (utilizado para el trazado de la mediatriz) en el punto 1.

Uniendo con una recta el punto A y el punto 1, ésta corta a la mediatriz en el punto 2.

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3. Pinchando con el compás en el punto 2, y con una abertura del compás de 2 a 1, se traza un arco hasta cortar a la mediatriz.

Obtenemos el punto O, que será el centro de la circunferencia donde estará inscrito el octógono regular que nos piden.

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4. Pinchando con el compás en el punto O, se traza la circunferencia que deberá pasar por los puntos A y B. Sobre la circunferencia se lleva 8 veces el segmento AB, y conseguimos los vértices del octógono inscrito en la circunferencia.

5. Se trazan las divisiones, que serán los vértices del heptágono. A partir de B trazaremos las divisiones C y D. A partir del punto A, trazaremos las divisiones G y F. El punto E, se puede trazar desde un sitio o desde el otro, pero hay que tener en cuenta que debe estar en la línea perpendicular a la recta r, que pasa por el punto 1.

 

Recuerda que si llevamos la medida del lado, una a continuación de otra, podemos cometer errores importantes en la finalización del trabajo. En el momento del trazado final, sería más interesante situar los puntos F y E que deben estar alineados (y en su perpendicular) a los puntos A y B. Los puntos H y C los podemos construir a partir de los puntos A y B, mientras que los puntos G y D, saldrían de los puntos F y E. De esta forma, los errores que pudieran haberse cometido, estará compensados por toda la figura.

6. Uniendo todos los puntos A, B, C, D, E, F, G y H, obtenemos el octógono que nos piden. Recordad que los puntos F y E deben estar sobre la perpendicular al segmento AB, y alineados con los puntos A y B. Suele ser un elemento de control en los exámenes.

OCTÁGONO APLICANDO DE BISECTRIZ

1. Dibujamos un cuadrado y después sus dos diagonales:

   

   Que, como antes, se cortan en el centro de dicho cuadrado.

2. Dibujamos las bisectrices de los ángulos formados por una diagonal y un lado del cuadrado. En total son 8:

   

3. Con ello obtenemos un octógono regular en el centro del cuadrado cuyos vértices son 8 puntos de corte de dichas bisectrices:

   

Hay otros 8 puntos de corte entre bisectrices:

 ¡¡forman otro octógono regular!!: